Sujet mathématique qui fâche.

0,99999... est il égal à 1 (en se limitant à réfléchir dans l'espace des Réel, vu que je ne suis pas mathematicien  :) )
Pour info, le "..." sert a exprimer le fait que la division euclidienne est infinie (comme quand on divise 1 par 3 ) et qu'on retrouve toujours la même suite de decimales.

C'est une question qui parait très anecdotique car la réponse semble être "non"...

Et pourtant...

0,99999...=1


Voici deux démonstrations:

1-
On pose
X=0,999...
On multiplie chaque coté par 10:
10X=9,999...
On retire X de chaque coté:
10X=9,999...-0,99999...
9X=9
On chaque coté par 9:
X=9/9
On simplifie:
X=1
Donc X vaut a la fois 1 et 0,999... les deux nombres sont égaux.

2-
On peut écrire 0,999... sous la forme de la somme des termes d'une suite (géometrique) de premier terme 0,9 et de raison 0,1
(Rappel, le second terme d'une suite géométrique et le produit du premier terme par la raison, le 3ème celui du second fois la raison, etc...)
Les 4 premiers termes sont donc 0,9 puis 0,09 puis 0,009 puis 0,0009 et ainsi de suite.
La somme de ces termes (tous, et il y en a une infinité) est donc un 0,9 suivi d'une infinité de 9.

0,999...=0,9+0,09+0,009+...
Et ho comble du bonheur, il existe une formule qui permet de calculer la somme des terme d'une suite géométriques dont la raison est comprise entre -1 et 1.
Cette somme vaut S=a/(1-r) avec a le premier terme (0,9) et r la raison (0,1 dans notre cas)
S=0,9/(1-0.1)=0,9/0,9=1

Donc 0,999...=1
J'en ai une troisième :
1/3 = 0.3333...
donc 3x1/3=0.9999...
mais aussi 3/3=1
donc 1=0.9999...
Imagine ton même exposé avec 0.333..., tu en aurais conclu que 0.333...=1/3, on aurait répondu "oui, et alors..."
Ton "outil mathématique" qu'est le "..." vise à faire oublier le fait qu'on ne peut pas écrire ce putain de nombre et pour moi si on ne peut pas l'écrire c'est qu'il n'existe pas, normal, celui que l'on essaie d'écrire c'est en fait 1.
Alalala, cette notion d'infini, elle torturera longtemps nos méninges incapables de se la représenter...
vives les math et vive polytech  :S  (j'arrête les vacances, c'est pas bon pour moi)
Ton "outil mathématique" qu'est le "..." vise à faire oublier le fait qu'on ne peut pas écrire ce putain de nombre et pour moi si on ne peut pas l'écrire c'est qu'il n'existe pas, normal, celui que l'on essaie d'écrire c'est en fait 1.

Non, le "..." est l'outil qui sert a dire que les "9" se repetent à l'infini on peut l'écrire. Il y a une autre notation que les "..." il suffit de surligner le( s ) chiffre( s ) qui se repete.
Fait attention tu viens de dire que 1/3 n'existe pas  :D 
Non, je dis que 0.333... on peut pas l'écrire, qu'il n'existe pas, et que celui que l'on cherche à écrire est en fait 1/3. Mais attention je m'enflamme, je dis un peu n'imp' dans le post d'avant, je m'la joue le mec de base qui veut tout remettre en cause en 2 secondes, mais je me trouvais sensé quand même  ;) 
N'empeche que depuis que le parle de ça avec qqn qui n'arrive pas a comprendre que 0,999...=1, j'apprend plein de choses en anglais.
Attention, je ne remets pas en cause ta citation mais je remets juste en tout simplement en cause cette définition même que tu viens de cité et admise.
Et je dis simplement que les "..." n'apporte finalement que de l'ambigüité alors qu'il n'y en pas puisque tout nombre s'écrit sous forme de fractions.
J'aime bien dire n'importe quoi
Merci les Maths
Ca peu pas faire de mal, c'est wikipedia
Et je dis simplement que les "..." n'apporte finalement que de l'ambigüité alors qu'il n'y en pas puisque tout nombre s'écrit sous forme de fractions.

C'est racine de deux et Pi qui vont pas être contents...
Et le coup des "nombre qui se divisent mal" (comme 1/3) peut très bien se diviser parfaitement dans un autre base  :) 
Et pour ceux qui on envie de rigoler, en base 3, 0.333333... s'écrit 0,1 (0*3^0+1*3^-1)
En base 3, aussi multiplier par 10 qui décale la virgule (mais n'oubliez pas que 10 en base 3, c'est 3 en base 10)
0.1*10=1 (en base 3)
Et 1 en base 3 (1*3^0), c'est 1 en base 10 (1*10^0)
Et paf une preuve que 0.33..*3=1
vous vous faites chier au point de parler de maths en vacances  (naze) 
pour ma part, dans mon petit cerveau, je pense que 0,999... != 1
pourquoi ? parce qu'il y a un put**n de 0,000...1 qui n'a pas ramené son c*l à temps pour faire 1 et que je ne considère pas comme négligeable.
0,000...1

Ceci ne veux rien dire, tu pas pas avoir un 1 apres une infinité de 0 puisque par definition l'infinité n'a pas de fin et donc pas de "apres"
Et pour ce qui est du "reste" que tu "intuite" il n'existe pas.
C'est contre intuitif, mais c'est quand même comme ça.
Bah à mes yeux ça reste faux.
Ça repose sur un concept à la con créé pour s'arranger.
0.9999... != 1
et je vis trèèès bien avec ça.
Je comprends bien docker moi, et j'aime bien son esprit de contradiction  (cul) 
La concept des "..." a pas été crée pour prouver ça... Il a été crée pour écrire en décimal de façon exacte 1/3 ou des nombres a la con qui se divisent mal.
Mathou >> Moi aussi je le comprend bien, mais les math, c'est pas toujours ce qu'on "intuite"
Surtout quand l'intuition te fait penser dans ta tête "après l'la liste infinie, je met un 1".
Au passage, si je met ça sur mon site, c'est pasque je suis absolument sur de ce que je dis  ;) 
Un preuve que le concept de 0,000...1 ne marche pas si on fait la moyenne de ce chiffre avec 0, ça donnerai 0,000...05 ce qui est plus que 0,000...1
Un moyenne plus grande que les deux chiffres a partir de la quelle on la calcule, ça pue un peu le moisi quand même  :D 
J'ai pas dit ça plus haut, mais j'ai dit que ça créait une ambigüité dans nos petites têtes qui au final trouvent bizarre de dire que 0.999...=1  ;)  alors que sans cette notation on ne trouverait pas bizarre de dire que 3x1/3=1. Va t on un jour se comprendre ?
Mathou >> oui, je suis OK avec toi  :) 
Et 0,9999999... et la façon (qui ne sert a rien je le concède) d'écrire les fraction qui valent 1 avec un notation a virgule  :D 
(il y a aussi 1,0 1,000 etc ... et 1,0000... qui ne servent a rien)
J'en démors pas, tu peux foutre une infinité de 9 après ton 0, ça restera différent de 1.
Et rien à foutre de ce que vous pourrez dire, ce genre de connerie dont on se branle totalement a pour seul intérêt de démontrer à grand renfort de masturbation intellectuelle un principe ou une situation dont on n'aura pas le fin mot et dont le résultat tient sur des notions ô combien bancales à mes yeux.
Mais pour faire plaisir aux Mattieux, il existe un espace (celui des hyperréel) dans lequel 1-0,9999... a un reste  :)  (et ou ils sont differents donc)
Mais bon, notre vie est faire de réels...
DocKeR >> Et bien tu restera dans l'erreur toute ta vie, mais c'est pas grave effectivement.
Les notions que tu trouve bancales sont la division, la soustraction et la multiplication  :)  (ce sont celles de la première des démos)
je me contrefous totalement de "rester dans l'erreur toute ma vie"
comme si un jour ma vie allait dépendre d'une telle connerie  (naze) 
DocKeR >> imagine un psychopathe mathematique (au hazard Monsieur Bri*nd) te kidnappe et tu pose une énigme "0,9...est il egal 1 ?"
Si, ça peut arriver puisque monsieur Bri*nd est un psychopathe  :D 
Mais bon la probabilité est de 0,0000000....  :D 
je m'en bas les rouleaux
0.00... ne serait-il pas égal à 0 ?  :| 
Mathou >> Toutafait  :)  , c'est pour ce que je l'ai écrit  :) 
et bah dites-donc tout ca...
bah moi j'ai allez etudier la trajectoire de mes felche aujourd'hui!!!
@+++
la chaussette
N'empêche que par définition forcément 0,999999999.... est bien égal à 1.
Démonstration: si ce n'est pas le même nombre entre les deux il doit y avoir un autre nombre...
Or il n'y en a pas!
CQFD